ПОДГОТОВКА К ЕГЭ 2019

математика

Задание № 19. Задачи на логику.

43. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6


44. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100.
Ответ: а) да; б) нет; в) да


45. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) пример: 2529; б) нет; в) 8655 и все его перестановки


46. В последовательности   
  , состоящей из натуральных чисел, причем каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырех членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из 6 членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n=10?
Ответ: а) пример: 1, 12, 17, 20; б) да; в) 70


47. В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть в ничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» - процент побед, округленный до целого, «ничьи» - процент ничьих, округленных до целого и «поражение» - процент поражений, равный разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих».
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Ответ: а) да; б) да; в) 51


48. Рассмотрим частное трехзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27.
б) Может ли это частное равняться 125/27?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
Ответ: а) пример: 339; б) нет; в)    


49. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на 2 группы, в каждой их которых есть хотя-бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое во второй группе равно В.
а) Приведите пример разбиения исходный чисел на 2 группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше (А+В)/2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на 2 группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно (А+В)/2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения (А+В)/2.
Ответ: а) пример: в первой группе все пятерки, во второй все четверки и тройки; в)    


50. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Ответ: а) да; б) да; в) 4


51. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Ответ: а) да; б) нет; в) 25


52. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кино­фильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/25?
б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/35?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6/7


53. На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отдан­ных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшится не менее, чем на 27?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Ответ: а) 39; б) да; в) 167


54. а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 1979 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 110


55. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляют электронные письма девушкам. Каждый юноша отправляет или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Ответ: а) да; б) 17; в) 41


56. Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10


57. На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Ответ: а) нет; б) да; в) 6


58. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Ответ: а) да; б) нет; в) любое целое число, кроме 1 и -1


59. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111?
Ответ: а) да; б) 39; в) 3 или 6


60. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Ответ: а) да; б) нет; в) 39


61. Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры произведения ab. Затем справа приписываются цифры числа, полученного произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две цифры были a=6 и b=7, то получается последовательность
6, 7, 4, 2, 8, 1, 6,…
а) Приведите пример такой последовательности, в которой шесть первых членов отличны от нуля, а все члены начиная с седьмого равны нулю.
б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом, с какого-то момента становится периодической (цифры начинают повторяться в одном и том же порядке).

Ответ: а) 1, 5, 5, 2, 5, 1, 0, 0,


62. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых ровно два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2017?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Ответ: а) да, например, 5023, 5024, …, 5033; б) нет; в) 11.

    2    3

Главная


Репетитор по математике

Подготовка к ЕГЭ: Авторская методика, которая значительно эффективнее школьных методов обучения. Оптимальные алгоритмы, ускоряющие освоение и решение задач. Приемы, облегчающие запоминание формул и другие навыки, упрощающие процесс подготовки к экзамену. Качественная подготовка задач части «С», позволяющая добиться высоких результатов. Регулярное пробное тестирование.

Подготовка 7-10 классы: Устранение пробелов в школьной программе. Подготовка к ОГЭ.

Высшая математика: Подготовка к тестам, контрольным работам, экзаменам, зачетам.

Занятия проводятся очно либо дистанционно (Skype). Начальный уровень не важен.


Записаться на занятия тел.: +7(952)-882-36-05; e-mail: egemath2019@mail.ru.

Если есть вопросы, пишите через форму для сообщений.