2. Стереометрия
3. Начала теории вероятностей
5. Простейшие уравнения
6. Преобразование выражений
7. Производная функции
8. Практические задачи
9. Текствые задачи
10. Графики функций
11. Исследование функций
12. Уравнения
13. Стереометрия с доказ-вом
14. Неравенства
15. Финансовая математика
16. Планиметрия с доказ-вом
17. Задачи с параметром
18. Задачи на логику
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 1. Планиметрия.
1. У треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
Ответ: 8
2. В треугольнике ABC угол A равен 56°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 124°
3. В треугольнике ABC угол C равен 66°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 123°
4. Угол A прямоугольного треугольника равен 64°. Найдите угол AOE, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 77°
5. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.
Ответ: 0,4
6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, sin∠BAC = 0,5. Найдите высоту AH.
Ответ: 4
7. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, sin∠BAC=7/25. Найдите sin∠BAH.
Ответ: 0,96
8. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, tg∠BAC=7/24. Найдите cos∠BAH.
Ответ: 0,28
9. В треугольнике ABC известно, что AC = BC=4√15, cos∠BAC=0,25. Найдите высоту AH.
Ответ: 7,5
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, AC=√51. Найдите sin∠A.
Ответ: 0,7
11. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 30,25
12. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 31°
13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 78°
14. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.
Ответ: 31°
15. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 55°
16. В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28. Найдите косинус угла A.
Ответ: 0,7
17. В треугольнике ABC известно, что AC=BC=7, tg∠A= √33/4 . Найдите AB.
Ответ: 8
18. В треугольнике ABC AC = BC = 5, sin∠A =0,8. Найдите АВ.
Ответ: 6
19. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 45√3. Найдите AB.
Ответ: 90
20. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 1, cos∠A= √17/17. Найдите высоту CH.
Ответ: 2
21. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 16, tg∠A=0,5. Найдите высоту CH.
Ответ: 4
22. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 4, высота CH=2√3. Найдите угол С.
Ответ: 60°
23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg∠A=√5/2. Найдите AB.
Ответ: 9
24. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 156°, угол CBD – внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 168°
25. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена медиана CD, причем величины углов BDC и ADC относятся как 4:5. Найдите величину угла А в градусах.
Ответ: 40°
26. Высота AD треугольника АВС делит противоположную сторону на части: CD = 4, BD =1,5. Найдите длину стороны АC, если tg∠B = 2.
Ответ: 5
27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 8, sin∠A=0,5. Найдите BH.
Ответ: 4
28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, cos∠A = 0,6. Найдите высоту CH.
Ответ: 2,4
29. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB=2√3. Найдите высоту CH.
Ответ: 1,5
30. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 3, cos∠A= √35/6. Найдите AH.
Ответ: 17,5
31. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите AH.
Ответ: 12,5
32. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите высоту CH.
Ответ: 2,5
33. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите cos∠A.
Ответ: 0,6
34. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC=8, высота AH равна 4. Найдите sin∠ACB.
Ответ: 0,5
35. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите sin∠BAC.
Ответ: 0,8
36. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота AH равна 4. Найдите cos∠BAC.
Ответ: 0,6
37. В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус ∠В=7/25. Найдите синус внешнего угла при вершине А.
Ответ: 0,96
38. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус угла В=0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.
Ответ: -0,8
39. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите синус ∠B.
Ответ: 0,1
40. В треугольнике ABC угол C равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине A равен -2. Найдите тангенс ∠B.
Ответ: 0,5
41. В треугольнике ABC AC=BC=√17, AB=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине В.
Ответ: -0,25
42. В треугольнике ABC AC=BC=8, косинус внешнего угла при вершине В равен -0,5. Найдите AB.
Ответ: 8
43. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 51°
44. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 70°, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 10°
45. В треугольнике ABC угол A равен 30°, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 38°
46. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 52°