ПОДГОТОВКА К ЕГЭ 2019

математика

Задание № 10. Практические задачи.

1. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pVa=const, где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объем газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Ответ: 2


2. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд c поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением pV1,4=const, где p (атм.) — давление в газе, V — объем газа в литрах. Изначально объем газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии c техническими характеристиками поршень наcоcа выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объем можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Ответ: 0,05


3. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk=const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента c одноатомным идеальным газом (для него k=5/3) из начального состояния, в котором const=105 Па∙м5, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 3,2∙106 Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Ответ: 0,125


4. При температуре 0°C рельс имеет длину 1png=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°)=l0(1+a∙t°), где a=1,2∙10-5 (°C)-1 — коэффициент теплового расширения  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ: 25


5. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 c. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 c? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1


6. Высота над землей подброшенного мяча меняется по закону h(t)=1,6+8t-5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее c момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

Ответ: 1,2


7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=at2+bt+H0 , где H0 =4 м — начальный уровень воды, a=1/100 м/мин2, и b= -2/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее c момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Ответ: 20


8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону 

8png

где t — время в секундах, прошедшее c момента открытия крана, H0 =20 м — начальная высота столба воды, k=1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте =10м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объем воды?

Ответ: 50


9. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y=ax2+bx, где b=1,  a = -1/100 м-1  — постоянные параметры, x(м) — смещение камня по горизонтали, y(м) — высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Ответ: 90


10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t)=T0+bt+at2, где t — время в минутах, T0=1400 К, a= -10 К/мин2, b=200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 2


11. Для сматывания кабеля на заводе используют лебеду, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону    ,   где t — время в минутах, ω=20°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β=4°/мин2— угловое ускорение, c которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебеди, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 20


12. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных цилиндров: центрального массой m=8 кг и радиуса R=10 см, и двух боковых c массами M=1 кг и c радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг∙см2, дается формулой 

10png

При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг∙см2? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 5


13. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение y=0,005x2-0,74x+25, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

1png

Ответ: 7,3


14. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза c главным фокусным расстоянием f=30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение   

10png

Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ей изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 36


15. Перед отправкой тепловоз издал гудок c частотой f0 =440 Гц. Чуть позже, издал гудок, подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка  f  больше первого: она изменяется по закону  

10png

где c — скорость звука (в м/c). Человек, cтоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, c какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=315 м/c. Ответ выразите в м/c.

Ответ: 7


16. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна  16png , где ε — ЭДC источника (в вольтах), r=1 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания 10png  ? (Ответ выразите в омах.)

Ответ: 4


17. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле 

10png

где ω — частота вынуждающей силы (в c-1), A0 — постоянный параметр, ωp=360 c-1 — резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на 12,5%. 

Ответ: 120


18. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется

10png

где T1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T1  КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника T2 =340 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Ответ: 400


19. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой mВ (в килограммах) от температуры t1 до температуры t2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы mдр кг. Он определяется формулой 

10png 

где св=4,2∙103 Дж/(кг К) — теплоёмкость воды, qдр=8,3∙106 Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m=83 кг воды от 10°C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

Ответ: 18


20. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/c, определяется по формуле 

10png

где c=1500 м/c — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая преемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/c.

Ответ: 751


21. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает c частотой исходного сигнала f0=150 Гц и определяется следующим выражением:

10png

где с — скорость распространения сигнала в среде (в м/c), а u=10 м/c и v=15 м/c — скорости преемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в преемнике  f  будет не менее 160 Гц?

Ответ: 390


22. Если достаточно быстро вращать ведёрко c водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления (в ньютонах) равна 

1png

где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ветерка в м/c, L — длина веревки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с2). C какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 40 см? Ответ выразите в м/c.

Ответ: 2


23. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону 

1png

где l0=5 м — длина покоящейся ракеты, c=3∙105 км/c — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/c). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы ей наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/c.

Ответ: 180000


24. Для определения эффективной температуры звезды используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: P=σST4, где σ=5,7∙10-8 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь  10png м2а излучаемая ею мощность P не менее 9,12∙1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Ответ: 4000


25. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h над землей, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 10pngгде R=6400  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Ответ: 7


26. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону 10png, где m0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m0=40 мг изотопа Z, период полураспада которого T=10 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Ответ: 30


27. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA=αρgr3, где a=4,2  — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, ρ=1000кг/м3 — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг). Каким может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 2

1     2

Главная