2. Векторы
3. Стереометрия
4. Начала теории вероятностей
6. Простейшие уравнения
7. Преобразование выражений
8. Производная функции
9. Практические задачи
10. Текствые задачи
11. Графики функций
12. Исследование функций
13. Уравнения
14. Стереометрия с доказ-вом
15. Неравенства
16. Финансовая математика
17. Планиметрия с доказ-вом
18. Задачи с параметром
19. Задачи на логику
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 3. Стереометрия.
81. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 12
82. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Ответ: 72
83. Шар вписан в цилиндр. Объем шара равен 6. Найдите объем цилиндра.
Ответ: 9
84. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
Ответ: 4,5
85. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Ответ: 3
86. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
Ответ: 24
87. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Ответ: 4,5
88. Объем первой цилиндрической кружки равен 12. У второй кружки высота в два раза меньше, а радиус основания в три раза больше. Найдите объём второй кружки.
Ответ: 54
89. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
Ответ: 27
90. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Ответ: 12
91. Объем шара равен 288 π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π.
Ответ: 144
92. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Ответ: 10
93. Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго.
Ответ: 9
94. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
95. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K – середина ребра AA1, точка L - середина ребра A1B1, точка M - середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60°
96. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ: 24
97. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке.
Ответ: 50
98. На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C3.
Ответ: 17
99. Объем тетраэдра равен 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Ответ: 9,5
100. Площадь поверхности тетраэдра равен 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Ответ: 6
101. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Ответ: 9
102. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Ответ: 7
103. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Ответ: 30
104. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Ответ: 0,25
105. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону AB основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1: 2, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DABC.
Ответ: 10
106. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Ответ: 3
107. От призмы ABCA1B1C1, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида C1ABC. Найдите объем оставшейся части.
Ответ: 4
108. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.
Ответ: 4
109. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равен 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30.
Ответ: 3
110. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.
Ответ: 16
111. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Ответ: 2
112. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны 2/ π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ: 4
113. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2√3, а высота равна 2.
Ответ: 36
114. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.
Ответ: 36
115. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.
Ответ: 24
116. Около куба с ребром √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
Ответ: 4,5
117. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 4,5
118. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Ответ: 48
119. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30°.
Ответ: 18
120. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Ответ: 7,5
121. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Ответ: 240
122. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 =2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
123. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро АВ=2, ребро AD=√5, ребро AA1=2. Точка К – середина ребра BB1. Найдите площадь сечения,проходящего через точки A1, D1 и K.
Ответ: 5
124. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро АВ=8, ребро AD=6, ребро AA1=21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.
Ответ: 0,6
125. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.
Ответ:
0,25
126. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
Ответ: 4