ПОДГОТОВКА К ЕГЭ 2019

математика

Задание № 19. Задачи на логику.

22. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, сдавших тест, составил 95, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест — 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да; б) да; в) 35


23. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 63


24. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) 35


25. На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается их сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9; а вместо 3,3 и 5 записывается 8).
а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.
б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?
в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Ответ: а) пример: 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; б) нет; в) 5


26. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b  и  2a−1,  или  a+b  и  2b−1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2


27. В последовательности    , состоящей из целых чисел   

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Ответ: а) пример: 1, 2, 3, 0, 5, -2, …,-232, 235; б) нет; в) 35


28. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество   
   хорошим?

б) Является ли множество   хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8


29. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если  
    и    .

б) Может ли быть    и     ?

в) Пусть    и   . Найдите количество возможных значений числа a.

Ответ: а) пример: 7; 5; 2; 1; б) нет; в) 248


30. Каждое из чисел  
  равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим





Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917


31. В ряд выписаны числа  12, 22,..., N2
. Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «-» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

а) -4, если N=12?
б) 0, если N=49?
в) 0, если N=80?
г) -3, если N=90?
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да


32. а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде   
  , где числа      – целые,     .

б) Существует ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде      , где  числа      – целые,        ровно 130 способами.

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в таком виде ровно 130 способами.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20


33. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 374944128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169


34. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11


35. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4


36. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных числе, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41


37. На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 6


38. Последовательность   
   состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть    среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что    

а) Приведите пример такой последовательности, для которой    .

б) Существует ли такая последовательность, для которой     .

в) Найдите наименьшее возможное значение     .

Ответ: а) пример: 5, 0, 2, 1, 1, 1; б) нет, в) 2,8


39. Две девочки делают фотографии. Наташа P фотографий, Маша K фотографий. И каждый день каждая делает на одну фотографию больше. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Максимальное количество фотографий Наташи, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1430


40. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S<15.
б) Могло ли значение S быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
Ответ: а) Пример: 14 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов, а остальные только одну и получили по 5 баллов; б) нет; в) 185/4


41. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из красные, а какие-то зеленые. Красные числа кратны 7, а зеленые числа кратны 5. Все зеленые и красные числа отличаются друг от друга. Но между зелеными и красными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зеленых чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1469, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467
Ответ: а) да; б) нет; в) 10


42. В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Ответ: а) да; б) нет; в) 31/6

1     2    3

Главная


Репетитор по математике

Подготовка к ЕГЭ: Авторская методика, которая значительно эффективнее школьных методов обучения. Оптимальные алгоритмы, ускоряющие освоение и решение задач. Приемы, облегчающие запоминание формул и другие навыки, упрощающие процесс подготовки к экзамену. Качественная подготовка задач части «С», позволяющая добиться высоких результатов. Регулярное пробное тестирование.

Подготовка 7-10 классы: Устранение пробелов в школьной программе. Подготовка к ОГЭ.

Высшая математика: Подготовка к тестам, контрольным работам, экзаменам, зачетам.

Занятия проводятся очно либо дистанционно (Skype). Начальный уровень не важен.


Записаться на занятия тел.: +7(952)-882-36-05; e-mail: egemath2019@mail.ru.

Если есть вопросы, пишите через форму для сообщений.