БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

29. Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC =4√13.

Ответ: б) 4

30. В трапеции АBCDBAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а) Докажите, что ∠BАM равен ∠CАD.
б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Ответ: б) 20

31. Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что ∠ АBM и ∠MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD= BC, а ∠АDC равен 55. Найдите ∠BAD.

Ответ: б) 80

32. Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/64 от площади трапеции ABCD.

Ответ: б) 3:5

33. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
а) Докажите, что AD = 4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен √6.

Ответ: б) 4

34. В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD=4.

Ответ: б) 2/9

35. Две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая MK пересекающая обе окружности в точках M и K, причем точка A находится между ними.
а) Докажите, что треугольники BMK и O
1AO2 подобны.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если O
1O2 = 5, MK = 7.
Ответ: б) 84/25

36. Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O
1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если ∠ DAE = ∠BAC радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB=2.

Ответ: б) 8

37. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO
1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO
1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
Ответ: б) 3,5

38. Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если ∠ BCD=135.

Ответ: б) 1:2

39. Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника, делит его площадь пополам, а другой в отношении 11:17.
а) Докажите, что данный четырехугольник ‐ трапеция.
б) Найдите отношение оснований этой трапеции.

Ответ: б) 2:5

40. Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Ответ: б) 1

41. На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.
а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.
б) Найти площадь SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.

Ответ: б) 268,8

42. В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересе­кает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) Пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

Ответ: б) 3:1

43. Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и cos CAD=3/5.

Ответ: б) 8√13

44. К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей =5, расстояние между их центрами =18, а AC = 8.

Ответ: б) 12,375

45. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB
1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 21 и ∠BAC = 30°.

Ответ: б) 7√3

46. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне BC, а вершина E — на стороне AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.

Ответ: б) 6-3√3

47. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ: б) 3,2

48. Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что отличная от A
1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1.
б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.
Ответ: б) 1,5

49. В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.
а) Докажите, что A, B, O и B
1 лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB
1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.
Ответ: б) 18

50. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=17.
Ответ: б) 4,2

51. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что ∠BAC=30°.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC=√21.

Ответ: б) 14

52. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.

Ответ: б) 0,4

53. Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что ∠BAC+AKC=90°.
а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а cosBAC=0,6.

Ответ: б) 10

54. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Ответ: б) 1:15

55. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.
а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.
б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если cosBAC=3/4.

Ответ: б) 2

56. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD

до прямой СМ, если BC=6√21.
Ответ: б) 3

    2     3