1.  Планиметрия 

    2.  Векторы

    3.  Стереометрия 
    4.  Начала теории вероятностей 

    5.  Теория вероятностей

    6.  Простейшие уравнения
    7.  Преобразование выражений 
    8.  Производная функции 
    9.  Практические задачи 
    10.  Текствые задачи 
    11.  Графики функций 
    12.  Исследование функций
    13.  Уравнения 
    14.  Стереометрия с доказ-вом
    15.  Неравенства 
    16.  Финансовая математика 
    17.  Планиметрия с доказ-вом 
    18.  Задачи с параметром 
    19.  Задачи на логику 

          БАЗА ЗАДАНИЙ

    Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

    25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
    а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
    б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD = 8.

    26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
    а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
    б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
    Ответ: б) 4

    27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
    а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
    б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
    Ответ: б) 2/7

    28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
    а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
    б) Найдите объём пирамиды SABC.
    Ответ: б) 16√6

    29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
    а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
    б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
    Ответ: б) 13/23

    30. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA1=4√2. Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
    а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC    1.
    б) Найдите расстояние от точки A    1 до плоскости APQ.

    31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  известны длины рёбер: AB=4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1  соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
    а) Докажите, что B    1U:UC1=2:1.
    б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA    1B1C1D1 плоскостью APQ.

    32. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1=3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.
    а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
    б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A    1PQ.

    33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
    а) Докажите, что точка T является серединой SM.
    б) Найдите расстояние между NT и SC.
    Ответ: б) √15/5

    34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса —треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
    а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
    б) Найдите площадь сечения.
    Ответ: б) 4√2

    35. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
    а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
    б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
    Ответ: б) 26

    36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
    а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
    б) Найдите соотношение объемов.
    Ответ: б) 2/7

    37. Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA1B1B и BB1C1C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.
    а) Докажите, что треугольник A    1C1B – прямоугольный.
    б) Найти объем пирамиды AA    1C1B.
    Ответ: б) 20√14

    38. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1  является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.
    а) Докажите, что прямые CA    1 и AB1 перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми CA    1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

    39. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA1 =3. На ребре B1C1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и  A1C1 соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
    а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
    б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
    Ответ: б) 5√3

    40. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE:EK1=1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
    а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN    1 пополам.
    б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK    1=4.

    41. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
    а) Докажите, что прямые A    1C и BD перпендикулярны.
    б) Найдите объем призмы, если A    1C=BD=2.

    42. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
    а) Докажите, что B    1KLM — правильная пирамида.
    б) Найдите объём B    1KLM.
    Ответ: б) 18

    43. Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P=4.
    а) Докажите, что PBDC    1 — правильный тетраэдр.
    б) Найдите длину отрезка AP.
    Ответ: б) √11

    44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
    а) Докажите, что эта пирамида правильная.
    б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
    Ответ: б) 3√6

    45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
    а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
    б) Найдите площадь сечения.
    Ответ: б) 20/3

    46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD - диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
    а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
    б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
    Ответ: б) √30

    47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
    а) Доказать, что угол AHC=90°.
    б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.

    48. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
    а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A    1B1
    .    б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

    1     2     3

    Главная