2. Стереометрия
3. Начала теории вероятностей
5. Простейшие уравнения
6. Преобразование выражений
7. Производная функции
8. Практические задачи
9. Текствые задачи
10. Графики функций
11. Исследование функций
12. Уравнения
13. Стереометрия с доказ-вом
14. Неравенства
15. Финансовая математика
16. Планиметрия с доказ-вом
17. Задачи с параметром
18. Задачи на логику
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 13. Стереометрия с доказательством.
25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD = 8.
26. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.
б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.
Ответ: б) 4
27. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
Ответ: б) 2/7
28. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра SA=SB=7, SC=5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Ответ: б) 16√6
29. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:BM = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Ответ: б) 13/23
30. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA1=4√2. Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.
31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.
а) Докажите, что B1U:UC1=2:1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.
32. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1=3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
33. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2√3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Ответ: б) √15/5
34. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса —треугольник с углом 120◦ при вершине M. Образующая конуса равна 2√3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 4√2
35. Основанием прямой четырехугольной призмы
ABCDA1B1C1D1
является квадрат ABCD со стороной 5√2, высота призмы равна 2√14. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Ответ: б) 26
36. Дана правильная пирамида SABCD. Точка M находится на SD так, что MS:SD=2:3. Точка P середина AD. Точка Q середина BC.
а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP – равнобедренная трапеция.
б) Найдите соотношение объемов.
Ответ: б) 2/7
37. Основание прямой треугольной призмы
ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA1B1B и BB1C1C равны 15 и 9 соответственно, AB=13.
а) Докажите, что треугольник A1C1B – прямоугольный.
б) Найти объем пирамиды AA1C1B.
Ответ: б) 20√14
38. Основанием прямой треугольной призмы
ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.
39. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания АВ=6, а боковое ребро AA1 =3. На ребре B1C1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и A1C1 соответственно. Плоскость ƴ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости ƴ
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью ƴ.
Ответ: б) 5√3
40. В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE:EK1=1:3. Через точки L и E проведена плоскость α параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6, KK1=4.
41. Основанием прямой четырехугольной призмы
ABCDA1B1C1D1
является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если A1C=BD=2.
42. Ребро куба
ABCDA1B1C1D1
равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Ответ: б) 18
43. Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P=4.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Ответ: б) √11
44. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5√2.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: б) 3√6
45. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 20/3
46. Дан цилиндр, в котором проведены диаметры оснований. AB – диаметр верхнего основания, CD - диаметр нижнего, причем отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у пирамиды ABCD противоположные ребра равны.
б) Найдите высоту цилиндра, если AC=7, AD=6, а радиус основания цилиндра равен 2,5.
Ответ: б) √30
47. SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Доказать, что угол AHC=90°.
б) Найдите объем пирамиды, если HA=1 и HC=7.
48. В кубе
ABCDA1B1C1D1
все рёбра равны 3. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1
.б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.